https://sites.google.com/view/dcrwgt/homepage

Centrum Dioscuri Random Walks in Geometry and Topology jest finansowane w ramach programu Dioscuri współrealizowanego przez Polskie Ministerstwo Edukacji i Nauki i Niemieckie Federalne Ministerstwo Oświaty i Badań Naukowych. Projekt trwa pięć lat od 1 września 2023 a kieruje nim Mikołaj Frączyk. Badania dotyczą geometrii i topologii przestrzeni lokalnie symetrycznych i wykorzystują metody probabilistyczne, w szczególności spacery losowe. Ta tematyka zajmuje czołowe miejsce w światowej matematyce z rewolucyjnym wkładem matematyków takich jak William Thurston, Gregory Margulis czy Mikhail Gromov. Pomimo wielu postępów, badanie przestrzeni lokalnie symetrycznych dalej pozostaje aktywną dziedziną matematyki z mnóstwem otwartych problemów.
Badania starają się odpowiedzieć na następujące pytania:
W jaki sposób objętość zwartej przestrzeni lokalnie symetrycznej kontroluje jej złożoność topologiczną?
Jak szybko rosną wymiary przestrzeni form automorficznych o zadanych parametrach w naturalnych ciągach arytmetycznych przestrzeni lokalnie symetrycznych ?
Jak sklasyfikować przestrzenie lokalnie symetryczne o nieskończonej objętości?
Jak zachowują się spacery losowe na przestrzeniach lokalnie symetrycznych?

https://tanja-schindler.github.io/

Celem projektu jest badanie praw granicznych i właściwości mieszania dla układów słabo chaotycznych. Teoria silnie chaotycznych układów została szeroko rozwinięta w ostatnich dekadach i obecnie istnieją metody, które można wykorzystać do badania ich własności statystycznych, np. poprzez podejście funkcjonalno-analityczne lub geometryczne.
Jednak znacznie mniej wiadomo na temat układów, które nie wykazują tak silnego zachowania chaotycznego, a w szczególności są układami o zerowej entropii. Projekt ma na celu opracowanie ogólnych metod badania wielu naturalnych klas układów, które mają wolniejsze (lub słabsze) własności losowości (lub chaosu), np. przepływy zawieszone. Badania koncentrują się na właściwościach mieszania i właściwościach statystycznych takich układów, z celem scharakteryzowania ich zachowania chaotycznego oraz porównania ich z układami silnie chaotycznymi. W szczególności badania obejmują przypadki z nieskończoną miarą, gdzie teoria nie została jeszcze rozwinięta i gdzie być może trzeba sformułować inne, nowe pojęcia mieszania.

https://cenmatre.id.uj.edu.pl/start

Projekt Flagowy Central European Mathematical Research Lab jest finansowany ze środków programu Inicjatywa Doskonałości na Uniwersytecie Jagiellońskim, a jego kierownikiem jest Adam Kanigowski. Badania koncentrują się na układach dynamicznych, teorii ergodycznej oraz ich powiązaniach z teorią liczb, geometrią i teorią prawdopodobieństwa. Dokładniej, dotyczą one losowości i chaotyczności gładkich układów na rozmaitościach, problemów klasyfikacyjnych układów zachowujących miarę oraz dynamiki jednorodnej i niejednorodnej w powiązaniu z analityczną teorią liczb.
W projekcie prowadzone są badania zarówno nad problemami o zerowej, jak i dodatniej entropii. W przypadku dodatniej entropii celem jest zrozumienie interakcji pomiędzy własnościami ergodycznymi i statystycznymi, takimi jak związki między własnością Bernoulliego lub własnością K, a szybkością mieszania lub twierdzeniami granicznymi. W przypadku układów o zerowej entropii, co często definiuje zachowanie niechaotyczne, badania obejmują występowanie właściwości mieszania i mieszania wyższego rzędu, rozkład orbit oraz ich powiązania. Ostatnio badania obejmują również tzw. twierdzenia ergodyczne, badające zachowanie orbit próbkowanych wzdłuż małego, ale bogatego arytmetycznie podzbioru liczb naturalnych (np. pierwiastków liczb pierwszych). Ta część badań w naturalny sposób wprowadza związek między gładkimi układami dynamicznymi a teorią liczb.
Wprowadzając nowe narzędzia i techniki, badania stanowią istotny wkład w teorię układów dynamicznych i teorię ergodyczną (w szczególności w problemy rzadkiej ekwidystrybucji i zrozumienie chaotycznych właściwości układów gładkich). Udane rozwiązanie kilku długo otwartych problemów sprawiło, że badania należą do światowej czołówki w teorii ergodycznej.